每次选举都会产生赢家和输家，但有时，令人惊讶或令人失望的结果可能会让我们质疑我们的投票方法到底有多公平。有人说简单多数当选 (FPTP) 制度不公平，因为获胜者获得的选票往往远低于 50%。其他人则认为，排名选择投票、比例代表制或批准投票才是前进的方向。肯定有一种制度是最公平的吗？令人惊讶的是，数学却另有说法。
让我们考虑一个简单的例子：
“有人说简单多数当选 (FPTP) 制度不公平，因为获胜者获得的选票往往远低于 50%”
在一个 100 人的小镇上，每个人都投票，有三位候选人——爱丽丝、本和克洛伊。假设选民以三种不同的方式投票：40 名选民对候选人的排名为 Alice > Ben > Chloe，35 名选民的排名为 Ben > Chloe > Alice，最后 25 名选民的排名为 Chloe > Ben > Alice。谁应该获胜？好吧，有几种方法可以确定获胜者。在 FPTP 下，Alice 获胜，有 40 名选民支持她作为第一选择，而 Ben 和 Chloe 分别有 35 名和 25 名选民支持。一切都很好——但是把爱丽丝排在最后的 60 位选民呢？
那么让我们尝试其他方法：我们将使用即时径流。克洛伊的支持率最少，所以她出局了。将 Chloe 排在第一位的 25 位选民将 Ben 列为第二选择，因此他们的选票转移给了他。 Alice 仍然拥有 40 票，而 Ben 的总数上升到 60 票。通过考虑备份偏好，我们现在得到完全不同的结果。
最后，让我们尝试两两比较。将 Alice 与 Ben 进行比较：前 40 名选民更喜欢 Alice，其余 60 名选民更喜欢 Ben，因此 Ben 击败了 Alice。现在让我们比较 Ben 和 Chloe：75 名选民更喜欢 Ben，25 名选民更喜欢 Chloe。所以本赢了，因为他两两击败了每位候选人。正如我们所看到的，“获胜者”取决于投票系统。
“阿罗定理的关键要点是在任何情况下都必须做出权衡”
美国经济学家肯尼思·阿罗（Kenneth Arrow）很关心这个话题。他想了解是否存在一种数学函数（称为社会福利函数），该函数可以根据每个选民的偏好，在满足一些条件的情况下将其映射到一个总体排名。
首先是帕累托效率：如果每个选民更喜欢A而不是B，那么在最终排序中A的排名应该高于B。其次是非独裁：顾名思义，这一功能不应仅取决于一个选民的偏好。第三是不相关替代方案的独立性：在比较候选人 A 和 B 时，第三个候选人 C 的相对位置不应影响结果。
1950年，阿罗证明了这样的函数不存在。这一结果现在被称为阿罗不可能定理，指出每个投票系统都必须至少满足这些看似合理的条件中的一个。 FPTP 优先考虑快速且决定性的多数意见，同时牺牲广泛的共识。即时决选优先考虑（宽松地）候选人的广泛支持，但无法保证不相关替代方案的独立性。成对比较强调多数，同时放弃投票的传递性。
此外，所有投票系统都存在战术投票的风险：人们如何投票可能不仅取决于他们的偏好，还取决于他们认为其他人会如何投票。在尝试进行策略性投票时，他们对候选人 A 和 B 的比较可能会受到候选人 C 立场的影响，从而违反了阿罗的第三个条件。
那么这对我们的选举意味着什么？对于非数学家来说，阿罗定理的关键要点并不是特定的投票制度一定是不公平的，而是在任何情况下都必须做出权衡。那么问题就变成了：我们愿意接受哪些不完美？
